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求证sin3α=3sinα-4sin^3α

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乔思伯

乔思伯 N3

讨论回答 (4)

sin3α=sin(2α+α) =sin2αcosα+cos2αsinα =2sinαcosαcosα+[1-2(sinα)^2]sinα =2sinα[1-(sinα)^2]+sinα-2(sinα)^3 =3sinα-4(sinα)^3

这个公式其实可以通过三倍角公式的推导来证明，我记得三角函数里面有一些组合公式可以用来展开，比如sin(2α+α)，先用和角公式展开成sin2αcosα+cos2αsinα，然后再把二倍角的sin和cos代入进去，继续化简下去就能得到3sinα-4sin?α的结果了。不过具体中间步骤可能还要用到一些恒等式比如cos?α=1-sin?α之类的替换，最后整理合并同类项应该就可以证出来了

sin3a=sin(a+2a)

=sina*cos2a+sin2a*cosa

=sina*(cosa*cosa-sina*sina)+2sina*cosa*cosa

=3sina*cosa*cosa-sina*sina*sina

=3sina(1-sina*sina)-sina*sina*sina

=3sinα－4sin?α

要证明这个等式其实可以利用复数或者欧拉公式的方法来推导，把sin3α表示成指数形式然后展开计算，不过这种方法可能稍微复杂一点。或者也可以直接从左边开始一步步拆解，比如用sin(2α+α)的形式展开，再带入二倍角公式，接着把cos2α用1-2sin?α的形式代替，这样全部换成sinα相关的表达式后进行合并和化简，最终应该就能得到右边的结果。整个过程需要耐心一步步代入和整理，只要不出错最后应该是能对上的

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