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X平方+Y平方=2009的正整数解

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环宇飞扬

环宇飞扬 2009

讨论回答 (6)

x^2+y^2=2009，而平方的末位只能是0，1，4，5，6，9 两个和为9 要么0、9，要么4、5 44<Sqrt[2009]<45 假设x^2末位为0，x=10，20，30，40，带入发现y都不是整数，那么9也排除假设x^2末位为5，x=5，15，25，35 其中只有x=35时y=28为整数那么根据x,y的对称性得到 (x,y)=(±35,±28)或(±28,±35)

解方程 $x^2 + y^2 = 2009$ 的正整数解。
尝试将2009表示为两个平方数之和。
发现：$2009 = 7^2 times 41 = 49 times 41$，而 $41 = 5^2 + 4^2$。
因此：
$$
2009 = 7^2(5^2 + 4^2) = (7 cdot 5)^2 + (7 cdot 4)^2 = 35^2 + 28^2
$$
故唯一一组正整数解为 $(x, y) = (35, 28)$ 或 $(28, 35)$。

2009x+2010y=2008

2010x+2009y=2011

两式相减得

x-y=3

两式相加得

4019x+4019y=4019

x+y=1

(x+y)^2+(x-y)^3=1+3^3=28

解得x=8-14/(4-3a)y=42/(4-3a)要使x,y为正整数4-3a=2或7则a=2/3,-1所以a=-1

联立方程组，解得Y=42/(4-3a),由于有正整数解，故有4-3a为42得正约数，列出a的可能值带入检验即可

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