（ⅰ）若a=1，则f（x）=x+lnx，f′(x)＝1+
1
x =
x+1
x ，
∵x∈[1，e]，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f（x）max=f（e）=e+1；
（ⅱ）要使x∈[1，e]，f（x）≤0恒成立，只需x∈[1，e]时，f（x）max≤0，
显然当a≥0时，f（x）=ax+lnx在[1，e]上单增，
∴f（x）max=f（e）=ae+1＞0，不合题意；
当a＜0时，f′（x）=a+
1
x =
ax+1
x ，令f′（x）=0，x＝?
1
a ，
当x＜?
1
a 时，f′（x）＞0，当x＞?
1
a 时，f′（x）＜0，
①当?
1
a ≤1时，即a≤-1时，f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）max=f（1）=a＜0，∴a≤-1；
②当?
1
a ≥e时，即?
1
e ≤a＜0时，f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f(x)max＝f(e)＝ae+1≤0，a≤?
1
e ，∴a＝?
1
e ；
③当1＜?
1
a ＜e时，即?1＜a＜?
1
e 时，f（x）在[1，?
1
a ]上单增，f（x）在[?
1
a ，e]上单减，
∴f(x)max＝f(?
1
a )＝?1+ln(?
1
a )，
∵1＜?
1
a ＜e，∴0＜ln(?
1
a )＜1，∴f(?
1
a )＜0成立；
由①②③可得a≤?
1
e ．
（ⅲ）由（ⅱ）知当a≤-1或a≥-
1
e 时，f（x）在[1，e]上单调，不满足题意；
当-1＜a＜-
1
e 时，fmax(x)＝f(?
1
a )=-1+ln（-
1
a




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